Фуксова особая точка

В теории дифференциальных уравнений с комплексным временем, точка $t=t_{0}\in \mathbb {C}$ называется фуксовой особой точкой линейного дифференциального уравнения

${\dot {z}}=A(t)z,\quad z\in \mathbb {C} ^{n},\quad t\in \mathbb {C} ,$

если матрица системы A(t) имеет в ней полюс первого порядка. Это — простейшая возможная особенность линейного дифференциального уравнения с комплексным временем.

Говорят также, что $t=\infty$ является фуксовой особой точкой, если точка $s=0$ оказывается фуксовой после замены $t=1/s$, иными словами, если матрица системы $A(t)$ стремится к нулю на бесконечности.

Простейший пример

Одномерное дифференциальное уравнение ${\dot {z}}={\frac {a}{t}}z$ имеет фуксову особую точку в нуле, а его решениями являются (вообще говоря, многозначные) функции $z(t)=C\cdot t^{a}$. При обходе вокруг нуля решение при этом умножается на $\lambda =e^{2\pi ia}$.

Рост решений и отображение монодромии

При приближении к фуксовой особой точке в любом секторе норма решения растёт не быстрее, чем полиномиально:

$\|z(t-t_{0})\|\leq C\|t-t_{0}\|^{-N}$

для некоторых констант $C$ и $N$. Тем самым, всякая фуксова особая точка является регулярной.

Нормальная форма Пуанкаре-Дюлака-Левелля

Основная статья: Нормальная форма Пуанкаре — Дюлака

21-я проблема Гильберта

Двадцать первая проблема Гильберта состояла в том, чтобы при заданных точках на сфере Римана и представлении фундаментальной группы дополнения к ним построить систему дифференциальных уравнений с фуксовыми особенностями в этих точках, для которой монодромия оказывается заданным представлением. Долгое время считалось, что эта проблема была положительно решена Племелем (опубликовавшим решение в 1908 году), однако в его решении в 1970-х годах Ю. С. Ильяшенко была обнаружена ошибка. На самом деле, конструкция Племеля позволяла строить требуемую систему при диагонализуемости хотя бы одной из матриц монодромии.

В 1989 году А. А. Болибрухом был опубликован пример набора особых точек и матриц монодромии, который не может быть реализован никакой фуксовой системой — тем самым, отрицательно решающий проблему.

Литература

• А. А. Болибрух, Обратные задачи монодромии в аналитической теории дифференциальных уравнений, М.: МЦНМО, 2009.
• Yu. Ilyashenko, S. Yakovenko, Lectures on Analytic Differential Equations, AMS, 2007.